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SUR LES POLYNOMES 
Or, dans l’égalité (85), la dérivée du premier membre est 
rf 2 i> 
d P„ 
dP„ 
a: 2 — 1) —— - -+- 2x -+- 2x(n ■+- 1) —— -+- 2(n -+- t )P„ + -+- 1 ) P„; 
dx 
dx 
dx 
ce qui ne diffère pas du premier membre de (F). La relation (U) est donc 
démontrée. 
60. Théorème XL La partie entière du développement de — x ( - 1)n] S 
égale le double de la n ,eme dérivée de la partie entière du développement de 
(x 3 -'l 
On vient de voir que 
d n Qn 
-^ = 2—T(»+ t)p„. (si) 
Mais, d’après la formule de Rodrigues, 
d n ( x 2 — 1) n x -+- 1 
- - Lç - 
dx n ” x — 1 
= 2'T(« + t)X„ £ 
X H- 1 
x — 1 
La partie entière du second membre est 2T(n + 1)P„ (**). D’après l’équa¬ 
tion (81 ), cette partie entière égale 2 Donc : 
Partie entière de dn(x ,_.„ 1)n SI * 
d"Q„ 
dx n 
x—1 
2 fois partie entière de d . 
C. Q. F. D. (***) 
(*) Théorème de M. C. de Poiignac (Société mathématique de France, t. III, p. 21). 
(**) Cours de M. Hermile, p. 146. 
(***) N’ayant pu saisir la démonstration donnée par M. de Poiignac, j’en ai cherché une 
autre : celle qu’on vient de lire. Peut-être pèche t-elle en un point. 
Liège, 19 janvier 1891. 
