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SUR LE DEVELOPPEMENT 
ou, sous forme plus explicite, 
(5). xmt ... (± |k \ Oarlp (± xti x2«) 2 ^ ... 
Remarque. — Supposons que les fonctions u, comprises dans le dévelop¬ 
pement de J, sont réductibles linéairement à a d’entre elles y, « a ... v 
Nous obtiendrons, par la formule (2), 
J = C) V, -+- C 2 U-2 ■+• • • ' Cj ' J JJ 
en désignant par C des fonctions du premier degré des quantités u(a). 
Les termes v(a) s’expriment au moyen de a d’entre eux et, d’après l’équa¬ 
tion (4), ils dépendent linéairement de C 4 C 2 ... C,; en conséquence, il 
n’existe aucune relation du premier degré entre C, C 2 ... C a . 
Développement d’une fonction quelconque 0. 
5. Soit ,f 0 une solution algébrique entière des équations (4), homogène, 
des degrés p\, p% ... pN par rapport à x\, x% ... a?N. 
Puisque 0 O est développable suivant les produits v (§ 1), les nombres 
v\ — pl — p2, = p2 — p3 ..., vN — \ = pN — i — pN, vN = pN 
ont des valeurs positives ou nulles, et l’on peut supposer que # 0 et J sont 
des mêmes degrés par rapport aux variables. Nous écrirons 
0 O = ^ c • u > 
en désignant par c des constantes et en rapportant la sommation aux fonc¬ 
tions u, qui sont des mêmes degrés que 0 O et J. 
Par la réduction des quantités v aux termes linéairement indépendants 
u, v a ... v y , on obtient une expression 
00 = c' i u l H- C> 2 -4- ••• -t- (•; V ç , 
dans laquelle les lettres c' désignent des nouvelles constantes. 
