SUR LE DÉVELOPPEMENT 
10 
Conséquemment, si est une solution algébrique entière des équations (1), 
de degré p pour le système total des variables xi, æ 2, ... .rN, on a 
( 6 ) 
en étendant la sommation S ci tous les produits u dont les degrés pi, p%,... pN 
satisfont à la relation 
pl -+■ p2 -+- • * • *+■ p N = p. 
6 . D’après le résultat précédent, on peut obtenir sans difficulté le déve¬ 
loppement de toute fonction 5? suivant les produits u. En désignant par [E] 0 
la valeur d’une fonction E pour xi x = xi 2 = ... = »N n = 0, on est 
conduit à l’énoncé suivant : 
Toute solution algébrique entière des équations (1) est exprimable par 
(7).^«=.SSi.'6.u[e u ^] 0 , 
si l’on rapporte la sommation SS à toutes les déterminations possibles de v. 
La formule (7) peut être modifiée de différentes manières, d’après les 
relations du premier degré qui existent entre les produits u et, de même, entre 
les opérateurs e a . Le développement qui vient d’être indiqué a toutefois une 
propriété spéciale. 
D’après un théorème de Clebsch (*), une fonction du premier degré par 
rapport à des quantités réelles ï, £ 2 ... est développable, et d’une seule 
manière, sous la forme 
?1 §1 ■+ -t- • 
de telle sorte que les coefficients $ ... ont entre eux les relations 
linéaires semblables à celles qui existent entre S, ...; un pareil dévelop¬ 
pement est dit normal par rapport à \ { ... 
A toute relation linéaire entre les u il correspond une relation semblable 
(*) Ueber eine Fundamentalaufgabe (1er Invariantentheorie (Mémoires de la Société des 
SCIENCES DE GoETTINGUE, t. XVII). 
