DE CERTAINES FONCTIONS ALGÉBRIQUES. 
15 
Application à la théorie des formes. 
8 . Nous nous proposons d’établir, d’après les résultats précédents, la for¬ 
mule de développement de toute fonction invariante comme somme de 
covariants identiques multipliés par des polaires de covariants primaires (*). 
Nous considérerons d’abord les fonctions invariantes exprimables au 
moyen d’un seul covariant primaire; l’extension au cas général s’obtiendra 
ensuite sans difficulté. 
Soit Q un opérateur qui, appliqué à une fonction quelconque E, donne 
pour résultat QE une somme de covariants identiques multipliés par des 
polaires de E relatives aux variables. 
Cela posé, soit x un covariant primaire aux séries de n variables 
xt| xl 2 ... x1„, 
x2j x2 2 ... x2 n , 
xn —I, ... xn — 1„; 
nous supposerons que ü* est une fonction homogène des séries de n variables 
xi, a?2, ... xp, le nombre y. étant quelconque. 
En mettant en évidence la source de x, qui est un semi-invariant ÿ, nous 
poserons 
X = W. <p -+• • , 
£i% = O.V !7 .<p -+- , 
(*) Les covariants primaires sont des fonctions invariantes qui dépendent de n — 1 
séries de n variables xi, x2, ...; ils sont caractérisés par leur propriété de satisfaire aux 
n — 2 équations 
xl 
dx'i 
— = 0 , x2 -— = 0 , ... 
dx 3 
d 
xn — 2-= 0 
dxn — 1 
Toute fonction invariante est une somme de polaires de covariants primaires, multipliées 
par des covariants identiques (voir Mémoires et Bulletins de l’Académie royale de Belgique, 
années 1889 et 1890; Mémoires de la Société royale des sciences de Liège, t. XVII, 2 e série). 
