18 
SUR LE DÉVELOPPEMENT 
mêmes degrés par rapport aux variables (*). En additionnant membre 
à membre des équations analogues à (11), on obtient 
C i 
(12)., . . . . f = O — e . 00 y ; 
comme précédemment, la sommation S se rapporte à tous les opérateurs 
correspondants 0, 0', pour lesquels la somme 
2a -t- 22S -+- -+- nlyj 
est égale au degré p de y par rapport aux variables. 
D’après la formule (10), on a 
O'ÿ — (± xl, x2 2 ... xn n )™ . 0"y; 
les fonctions invariantes 0"©dépendent des seules variables x 1, x%, ...xn — l, 
et elles satisfont aux n — 2 équations 
d 
xi -- == 0, (* = I, 2, ... n — 2); 
axi -h 1 
par suite, les 0"<j> sont des covariants primaires (**). 
Comme nous l’avons déjà fait observer, les opérateurs 0 peuvent être 
remplacés par des agrégats de polaires analogues à xh . En conséquence, 
téquation (12) établit le développement explicite de toute fonction invariante f 
comme somme de covariants identiques multipliés par des polaires de cova¬ 
riants primaires 0 "y. 
Remarques. — I. Les fonctions O'y ont entre elles des relations du pre- 
mier degré qui permettent de modifier de différentes manières l’équation (12). 
Toutefois, il y a lieu d’observer qu’il existe des relations linéaires semblables 
entre les opérateurs 0 et entre les opérateurs 0'; dès lors, la formule (12) 
présente une certaine analogie avec le développement normal d’une fonction 
(*) Voir la noie de la page 13. 
(**) Nous avons déjà indiqué cette propriété au paragraphe 10, pour le cas de tp = 
