EN LAMES MINCES. 
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quer, comme conséquence, les trois dernières lois formulées ci-dessus : 
L’emploi du calcul des variations semblait ici naturellement indiqué. En 
l’évitant, nous croyons avoir écarté des complications presque inextricables, 
et, d’ailleurs, toutes choses restant égales de part et d’autre, il nous a paru 
préférable de nous appuyer exclusivement sur les principes de la géométrie 
élémentaire et les premières notions de l’analyse différentielle. 
Quelques pages suffisent pour établir un premier théorème, tout à fait 
général et qu’on peut énoncer comme il suit, en désignant, sous le nom 
d 'arêtes libres, les arêtes dont on dispose librement dans toute leur étendue, 
et, sous celui d'arêtes demi-libres, celles dont on ne dispose qu’à la condition 
de les faire passer par un point fixe : 
Dans tout système de lames, l’aire totale n’est un minimum que si les lames 
aboutissant ci une même arête libre ou demi-libre sont au nombre de trois et 
se coupent deux à deux sous l’angle de 120°. 
Partant de là, nous sommes conduit à poser et résoudre la question suivante : 
Étant, donnée la surface d’une sphère, comment et de combien de manières 
peut-on la découper en polygones convexes dont les angles soient tous de 120°? 
Il est entendu, d’ailleurs, que les côtés de ces polygones sont tous des arcs 
de grand cercle. 
L’équation très-simple fournie par cet énoncé est du premier degré à trois 
inconnues. L’indétermination qui résulte de la multiplicité des variables ne 
fait point obstacle à ce qu’on distingue immédiatement, parmi toutes les solu¬ 
tions, celles qui peuvent être admissibles. Elles se réduisent à dix-neuf, et ne 
cessent pas pour cela de comprendre encore des solutions étrangères. 11 
faut, à leur tour, distinguer celles-ci et les éliminer. On y parvient après 
quelques développements de trigonométrie sphérique. Il ne reste plus alors 
que sept combinaisons définitives, et telle est la solution cherchée. 
Prenons à part et successivement chacune des combinaisons qui résolvent 
la question proposée. Prenons en même temps le polyèdre qu on en déduit, 
lorsque, à chaque côté des polygones compris dans la combinaison que l’on con¬ 
sidère, on substitue la corde qui sous-tend ce côté. Nous savons déjà que les 
combinaisons définitives sont au nombre de sept. Voici maintenant les 
résultats qu’elles donnent. 
