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SUR LA STABILITÉ DES SYSTÈMES LIQUIDES 
que si les lames, aboutissant à une même arête liquide , se réduisent à trois 
et font entre elles des angles égaux. 
Cette déduction ne cesse pas de subsister lorsqu’on rapproche indéfini¬ 
ment du point m les points a, a 1 , p, q, r, etc. Cela revient à dire que, 
pour l’étendre au cas des lames courbes, il suffit de prendre sur les inter¬ 
sections à considérer des arcs assez petits pour qu’on puisse y substituer 
les tangentes ou les cordes correspondantes. Nous dirons donc plus géné¬ 
ralement : 
Dans tout système de lames l’aire totale n’est un minimum et, par con¬ 
séquent, l’équilibre ne peut être stable que si les lames aboutissant à une même 
arête liquide se réduisent à trois et se coupent deux à deux sous l’angle 
de 120°. 
k. Revenons au cas des lames planes et cherchons, d’après ce qui pré¬ 
cède, les lois relatives au nombre et à la disposition des arêtes qui concou¬ 
rent en un même sommet libre. 
Soit O l’un quelconque de ces sommets. On sait que de chaque arête issue 
de ce point partent trois lames se coupant deux à deux sous l’angle de 120°. 
Cela suffit pour reconnaître immédiatement que les lames se disposent les 
unes par rapport aux autres de manière à former autour du sommet O une 
suite d’angles solides convexes, accolés deux à deux par une face commune 
et trois à trois par une même arête. Les angles solides ainsi formés ont au 
moins trois faces : ils peuvent en avoir quatre ou cinq, mais pas davantage. 
En effet, A étant l’un de ces angles, si, d’un point pris à son intérieur, on 
abaisse une perpendiculaire sur chacune de ses faces, ces perpendiculaires 
déterminent un angle solide convexe A', ayant le même nombre de faces 
que l’angle A et dont les angles plans sont chacun de 60°. Or dans tout 
angle solide convexe la somme des angles plans est nécessairement inférieure 
à 360°. L’angle A' ne peut donc avoir que cinq faces au plus, et, par con¬ 
séquent, tel est aussi le nombre maximum des faces que l’angle A peut pré¬ 
senter. 
Prenons le sommet O pour centre d’une surface sphérique *, et considérons 
* On ne perdra pas de vue qu’on dispose du rayon de cette surface et qu’on peut le prendre 
aussi petit qu’on veut, sans modifier en rien les déductions ultérieures. 
