EIN LAMES MINCES. 
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les intersections faites dans celte surface par les lames issues du sommet O. 
Ces intersections découpent la sphère en une suite de polygones convexes 
dont les angles sont tous de 120°. Il résulte d’ailleurs, des détails précédents, 
que chacun de ces polygones est nécessairement un triangle, un quadrilatère 
ou un pentagone. 
Désignons par z le nombre des triangles ainsi obtenus ; par y celui des 
quadrilatères ; par x celui des pentagones. 
On sait que tout polygone sphérique convexe a pour mesure de sa surface 
la somme de ses angles diminuée d’autant de fois deux droits qu il a de côtés 
moins deux. Il en résulte que, en représentant par l’unité la surface totale 
de la sphère, celle du triangle trirectangle est donnée par la fraction i-et 
fournit ainsi l’équivalent d’un droit. On déduit aisément de là que les sur¬ 
faces des polygones à considérer sont exprimées respectivement, par A poul¬ 
ie triangle, par A pour le quadrilatère, par '-£■ pour le pentagone. Mais d’un 
autre côté la sphère est découpée par hypothèse, de manière à présenter 
x pentagones, y quadrilatères et z triangles. On a donc évidemment 
ou, ce qui revient au même, 
( 5 ) .x -4- 2 y -+- 3z = 12. 
Les inconnues x, y, z n’admettant que des valeurs entières et positives, 
l’équation (5) ne comporte, en conséquence, qu’un nombre limité de solu¬ 
tions. Elle permet ainsi de faire un premier pas vers le but proposé. 
5. Les considérations précédentes ne fournissent pas seulement 1 équa¬ 
tion (5) du n° 4, elles permettent aussi de déterminer en fonction des quan¬ 
tités x, y el z le nombre des arêtes correspondantes. 
Les lames issues du sommet O sont au nombre de trois pour chaque trian¬ 
gle, de quatre pour chaque quadrilatère, de cinq pour chaque pentagone. 
Nous savons, d’ailleurs, que chaque lame détermine un côté commun à deux 
de ces polygones. Il suit de là que le nombre total N des lames issues du 
sommet O a pour expression générale : 
