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SUR LA STABILITE DES SYSTEMES LIQUIDES 
toutes possibles *. En fait, il en est sept seulement qui puissent se réaliser 
d’après les conditions du n° L ce sont celles que nous avons distinguées 
des autres, en désignant pour elles les polyèdres qui leur correspondent. 
Elles portent les numéros d’ordre 1, 7, 13, 15, 17, 18, et 19. - 
7. Nous venons de dire que les combinaisons 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 
11, 12, 14 et 16 étaient toutes impossibles. Celle assertion doit être justi¬ 
fiée. xAvant de le faire, commençons par établir les théorèmes sur lesquels 
nous nous appuyerons. 
Pour éviter, dans ce qui suit, des répétitions inutiles, il sera entendu que 
la lettre T désigne exclusivement le triangle équilatéral dont les angles sont 
de 120°. Quant aux quadrilatères et aux pentagones dont les angles ont 
tous cette même valeur, nous affecterons la lettre Q aux premiers, la lettre P 
aux seconds. Lors donc que nous désignerons par Q ou par P un polygone 
sphérique, nous exprimerons par là qu’il s’agit d’un quadrilatère ou d’un 
pentagone dont les angles sont tous de 120°. 
Soit d’abord ABC le triangle T. Sa surface est expri¬ 
mée par la fraction ~ ; et si, d’un côté, les arcs bis¬ 
secteurs DA, DB, DC, le découpent en trois triangles 
égaux DAB, DBC, DCA, de l’autre les prolongements 
de ces mômes arcs déterminent trois autres triangles 
égaux entre eux, et comprenant ensemble le reste de 
la surface sphérique. De là découlent immédiatement 
les déductions suivantes : 
1° La surface du triangle BCD est exprimée par la fraction Elle équi¬ 
vaut, en conséquence, à celle de chacun des pentagones P; 
2° Les triangles formés par les prolongements des arcs bissecteurs Cx\, 
CB, CD, sont tous égaux au triangle T; 
3° Les arcs CB, CD, sont supplémentaires, et, comme le premier l’emporte 
sur le second, on a nécessairement : 
L équation (S) comprend les solutions cherchées. Elle comprend, en outre, des solutions 
étrangères. Il est clair, en effet, qu’elle ne cesse pas de subsister, lorsque, sans changer leur 
somme, on attribue des valeurs inégales aux angles des divers polygones à considérer, et qu'on 
maintient d’ailleurs les autres conditions. 
Fig. S. 
A 
