EN LAMES MINCES. 
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Donnons-nous un pentagone P, représenté par A'B'BCC', et supposons 
que le côté BC de ce pentagone soit égal à celui du triangle T. Si l’on con¬ 
sidère isolément les arcs CD, C'A', assujettis tous deux à couper sous un 
même angle aigu de 60° l’arc CC'A, et qu’on les prolonge de gauche à droite 
jusqu’à leur rencontre, il est aisé de voir que l’arc C'A' ne peut couper l’arc CD 
qu’à une distance du point C supérieure à Or l’arc CD est inférieur à cette 
même limite : il est donc enveloppé par l’arc C'A'. On verrait de la même 
manière que l’arc BD est enveloppé par l’arc B'A'. Il suit de là que le triangle 
BCD est compris tout entier dans le pentagone A'B'BCC', ce qui est contra¬ 
dictoire, puisque, par hypothèse, ce triangle et ce pentagone doivent avoir 
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même surface. 
De là résulte un premier théorème énoncé comme il suit : 
Théorème I er . Il n’est aucun pentagone P ayant un côté égal à celui du 
triangle T. 
Soit maintenant abb'a 1 un quelconque des quadrilatères Q. On voit aisé¬ 
ment que dans ce quadrilatère les côtés opposés sont égaux, et que 1 arc a 1 b 
le coupe par moitié. On sait, d’ailleurs, que sa surface est exprimée par la 
fraction —. II suit de là que la surface du triangle aba' est exprimée par la 
fraction ~ et qu’elle équivaut, en conséquence, à celle des pentagones P. 
Prenons un pentagone P représenté par abmna' et 
supposons que les côtés ab, aa 1 de ce pentagone ap¬ 
partiennent en même temps à l’un des quadrilatères Q. 
S’il en est ainsi, les aires aba', abmna' sont équiva¬ 
lentes , et il faut nécessairement que l’arc mn coupe 
l’arc a'b en deux points compris l’un et l’autre entre les extrémités b et a 1 . 
Mais, dans cette hypothèse, l’arc a'b serait plus grand que n, et la somme 
des côtés du quadrilatère abb'a' l’emporterait sur une circonférence de grand 
cercle. Cette conséquence étant absurde, on a cet autre théorème : 
Théorème IL II n’est aucun pentagone P qui ait pour côtés adjacents les 
deux côtés d’un même quadrilatère Q. 
Fig. 6. 
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