EN LAMES MINCES. 
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Soit, en premier lieu, la combinaison 1. Elle comprend quatre Iriangles T. 
J1 suffit, en conséquence, de se reporter aux premiers paragraphes du n 7 
pour reconnaître comment elle se réalise, et donne pour polyèdre correspon¬ 
dant le tétraèdre régulier. 
Soit, en second lieu, la combinaison 7. Elle admet deux triangles T et 
trois quadrilatères Q. On voit aisément que les deux triangles ne peuvent pas 
être juxtaposés. Il faut donc accoler à l’un deux les trois quadrilatères. Le 
vide restant se remplit par le second triangle, et Ton a pour polyèdre corres¬ 
pondant un prisme droit à base triangulaire. 
Soit, en troisième lieu, la combinaison 13. Elle est formée de douze pen¬ 
tagones P. En supposant que ces pentagones soient tous réguliers, il est visible 
qu’ils satisfont aux conditions voulues et donnent pour polyèdre correspon¬ 
dant le dodécaèdre régulier. Ce système est d’ailleurs le seul que comporte 
la combinaison 13, vu qu’aucun des pentagones ne peut être irrégulier ou 
semi-régulier *. 
* Imaginons qu’on ait à construire un pentagone P irrégulier ou semi-régulier. Si 1 on se 
donne, dans le premier cas, deux côtés adjacents, dans le second, un côté quelconque com¬ 
plètement défini par rapport aux autres, il ne reste plus rien d’arbitraire et le pentagone à 
construire n’admet qu'une seule détermination. 
Soit P 0 l’un des douze pentagones à considérer. Supposons d’abord qu il soit irrégulier et 
désignons par P t , P 2 , P 3 , P 4 , P 5 les pentagones qui lui sont accolés. La détermination des pen¬ 
tagones P 0 , P t impliquant celle du pentagone P 2 ; la détermination des pentagones P 0 , P* celle 
du pentagone P 3 et ainsi de suite, de proche en proche, on voit que le pentagone P 5 est detei- 
miné par les pentagones P 0 , P 4 et qu’il doit satisfaire en outre a la condition de s accoler au 
pentagone P 5 . Il suit de là que, s’il est possible d’accoler à un pentagone quelconque irrégulier 
P 0 cinq pentagones P„ P. 2 , P 3 , P*, P 5 , on ne le peut que d’une seule manière. Le groupe formé par 
ces six pentagones laisse en dehors de l’espace qu’il occupe sur la sphère cinq angles a remplir 
par un même nombre de pentagones P, chacun de ceux-ci étant complètement déterminé par 
les deux côtés de l’angle qui lui correspond. Mais, d’un autre cote, ces memes pentagones 
doivent s’accoler entre eux. De là résultent, en conséquence, cinq conditions nouvelles. Or la 
seule chose dont on dispose est le pentagone P 0 , et deux conditions suffisent a sa détermination. 
Il y a donc trois conditions de trop et, par suite, impossibilité. 
Supposons maintenant que le pentagone P 0 soit semi-régulier. Si 1 on y désigne par a le côte 
qui n’a pas d’homologue; par m,m' les côtés adjacents au cote a ; par n, n les deux derniers 
côtés; par P a , P ro , P m -, P„, P„- les cinq pentagones accolés au pentagone P u , le premier suivant 
le côté a, le second suivant le côté tn , et, ainsi de suite, pour les autres, il est aisé de voir 
comment on est conduit successivement aux déductions suivantes : 
1 ° L’égalité des côtés adjacents «, n' implique celle des pentagones P„, P„>; 
