U RECHERCHES SUR QUELQUES PRODUITS INDÉFINIS 
20. Un développement de «. Prenons deux formules dues à Cauchy (*) 
(1 H- x)(l + <x)(l -+- fx) ... (1 -I- P _, x) — 
i — p (i _ i»)(i - p-') (t _ p)(j — p-‘)(l — p- 2 ) , 
\—t (i — (i -od — p)(\ -n ’ 
i 
(i -+- x)(l -+- tx )... (1 h- P _i x) 
Il en résulte, par multiplication, 
0(1 — < 2 )(i — < 5 ) 
i - <" (i — p) (i — p-«) a 
1 — - X -H - tx 2 
1 —t (1 — 0(i — <0 
(1 — P) (1 — t"-*) (1 — t"- 2 ) 
(i —<)(i — <0 (i — < 5 ) 
- <°X 3 -+- ... (**) 
1 = 
X 
i — p (i — p) (i — p-M 
1 H-X -+- — - : -- —- tx 2 -4- -4- t 2 X" 
I -+- 
1 - t 
et, si l’on suppose w infini : 
i - t (i — o (i — f) 
i — p (i — p) (i — p+ 2 ) 
(i - 0 (i - *0 
O; 
i = h + 
x 
x 
tx 2 
< 3 x 3 
i— t (i — 0 (I -<0 (i — 0(1 — < 0(1 — < 3 ) 
r x x 2 
h- 
< (! — <)(! — <0 
Soient t = x = q : l’identité devient 
q q 3 
1 = 
1—9 (1 — 9) (1 — f) (1 — <7)(1 — <7 2 )('l — ï 3 ) 
1 — 
4— 7 (1 — 7)(1— 9*) (1 — 9)(1 — 9 4 )(1 ~ 9 3 ) 
Dans les Recherches, on trouve 
q q'° 
P(3' = l 
\—q (1 — q) (1 — q 2 ) (1 — q 3 ) 
[23] 
[24] 
(239) 
(*) C. R., septembre 1843. 
(**) Dans la seconde, nous avons changé x en — x... 
(***) Les coefficients des puissances de x, dans le second facteur, sont des polynômes 
entiers. Voir Lettres à quelques Mathématiciens, p. 19. 
