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RECHERCHES SUR QUELQUES PRODUITS INDÉFINIS 
IL 
Vous connaissez l’équation 
a{x) — zo(x -4- 1) = -4- I O».( 3 ) 
nr(a?) étant la fonction de Rinet. 
Il en résulte, immédiatement, 
>( x )=2 
r / i\ 
X -4- > -4- \ 
IX -4- A -4- — 
£ i 
IA 
X -4- X 
w 
Ainsi, la fonction de Binet est égale à la série de Gudermann (**). 
On a, entre les fonctions y (x) et ®(a?), cette relation, également connue : 
?(*) — w(x) = i £(2r) x* — as(A6) 
(S) 
Soient S, la somme de la série (1), S 2 la somme de la série de Gudermann. 
On aurait donc, suivant vous, 
g _ g 
Or, d’après l’égalité (5), 
s, — s 2 = i £(2ir) + ( x — £ x — X ’ 
OU 
X 5 
V 2 JT 
Cette quantité croît indéfiniment avec æ. Donc, etc. 
III. 
En partant de la formule de Wallis, Serret est parvenu à la relation 
üH* t) = i £(%*) — x ■+■ ( x + 2 
(*) Antérieurement à 1882, ce théorème n’a été remarqué, je crois, par aucun Géo¬ 
mètre, pas même par le savant Binet. 
(**) Recherches sur la constante G, p. 28, etc. 
(***) Notes sur Lacroix, p. 348. La notation <p(x), employée par Serret, désigne une fonc¬ 
tion assez mal définie, me semble-t-il, et toute différente de XT(j). 
1\ / 1 
X -4- n -4- - \ 1 -4- 
2/1 X -4- 
r 
