ET SUR LA CONSTANTE G. 
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B 
On trouve, dans les Recherches (p. 114), la double égalité 
11 — V) 
\ — q 2 I — q 6 I — q" 
= 2 
4n-H 
(414) 
D’un autre côté, on a vu, ci-dessus, que 
9 
1 — q 1 I — cf 1 — q 10 
= (<7 -+- q 9 -+- q K -+- q 49 -+-•••) X (I -+- 2r / 4 -+- 2r/ lf ' -+- iq K ■+- 
[ 21 ] 
Conséquemment, 
(q + q 9 -+- r / 25 -+- < 7 49 -t- •••) X (1 -+- 2r / 4 -+- c 2q' 6 -+- 2c / 56 -i- •••) = ^ • [57] 
O 
Cette relation peut servir à démontrer un beau théorème de Fermât. 
En effet, si In -f- 1 est un nombre premier, p, e 4 „ +1 égale 2 (*). 
Supprimant, dans le premier membre, la série 
on a 
q -+- </“ -+- q K -+- q m -+- •••, 
(q -t- ç 9 -h r/ 25 -+- r/ 49 -+- •••) x (f/ 4 -+- </ IB -+- 7 511 -+- •••) = ^ ( l ! ‘ ■ • • • [58] 
D’après celte dernière égalité (**), dans laquelle p = 5, 13, 17, 29, ... : 
TW/ nombre premier 4n 1 es/, d'une seule manière , la somme de 
deux carrés. C. Q. F. D. (***). 
(*) Recherches..., p. 75. 
(**) Éy alité n’est peut-être pas le mot propre; car il n’y a pas identité entre les deux 
membres. Par exemple, le premier membre contient </ 9+1# , terme qui n’entre pas dans le 
second membre. 
(***) On peut consulter, relativement à ce théorème capital, deux remarquables Notes de 
Serret et de M. Hermite (Journal de Liouville, 1848, pp. 12 et 15). 
