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SUR LES FONCTIONS X„. 
coupent (*) en un point R, situé entre le point M et le pied de l'ordonnée MP. 
33. Théorème. Si a est une racine de — 0 (**), on 
a 
f a \ n dx = 0 . 
On sait (***) que 
f\ n dx = 
x 1 — 1 dX„ 
n (n -t- 1 ) dx 
(32) 
Si donc < ~r~~ = 0 ? l’intégrale est nulle. 
(XX 
34. Corollaire. Si a, b sont deux racines de d -~ = 0, on a 
/*X„rfx = 0. 
(33) 
(’) Si ces lignes se touchaient, on aurait, simultanément : 
dX„_, n (æX„_,—X re ) c/X^-j-, _ (a-t-l)(X n a;X, i + 1 ) dX„_, _ dX n + l . 
dx ~~ 1 — x‘ l ’ dx ~~ i — x 2 dx dx 
puis 
n(xX„ _ i X n ) — {il -h 1 ) (X„ a^X^-j.,), 
OU 
(2 n -f- 1)X„ = [< n + l)X n+1 -+- nX n _é\x\ 
condition contradictoire avec la relation générale 
(2a -t- l)xX„ = (n -4- l)X n+l 4-?iX„_ 1( 
sauf pour x — ± 
(“) D’après le théorème de Rolle, chacune des équations 
dx 
? 
drXn 
dx 2 
= 0, 
a toutes ses racines réelles. De plus, ces racines sont comprises entre — 1 et -+- 1. 
(***) Note sur les fonctions X„, p. 0. 
