36 SUR LES FONCTIONS X„. 
45. Corollaire 
/*+T dX, { t dX. , dX,_ I "| 
/ + X„à = 0. . . . (59) 
./ L ax «x J 
Le premier membre de l’égalité (K) peut être mis sous la forme 
/ +! «> (]% 
[« — (2« -+■ 4)xz ■+■ [n -+- 4)z 2 ]X„cîx2 — ~~z v . 
il iLC 
-1 
Le coefficient de z p , dans l’intégrale, est donc 
r T dX p+i , a „ dX P , n V , 
/ » — -(2ra -+- I)x —- 1 - (« t) -- X„rfx. 
[_ dx dx dx J 
46. Remarques. —■ I. Si p est inférieur à n, la formule (59) est com¬ 
prise dans un théorème de Jacobi (*). 
IL Soit p = n. Alors ~ est du degré n — 4 , et 
r + ' rfx,_!, 
/ X„ —— dx = 0. 
J dx 
-i 
Par conséquent, l’équation (59) devient 
dX n 
Ç [")) -^ ,,+l — (2 n -+- l)x —- 
J \ dx dx 
X.dx — 0 ; 
mais celle-ci est encore réductible. 
En effet : 
n /"XJX^ = n[X„X„ +1 ] - n X„ +l dX n = 2», 
-i ~ l -1 
(2n h- 1) /^ +1 xX n dX n = l(2n+t)[xXq-^(2»+l)y^ +i X^x=(2n+l)-ÿ2n+1)y r *X*dx. 
-i “ -* - -i -i 
(*) Journal de Liouville, t. II, p. 106. 
