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SUR LES FONCTIONS X„. 
Par conséquent, 
V' I — 2 zx -+- z 2 — i — zx — N (xX n — X„_,) —-, 
, n -+- 1 
OU 
__ CO Z n +- 
V i — 2zx h- z l — I — zx — N (xX n+1 — XJ .. (65) 
n -t- 2 
II. On peut encore, pour développer îe radical, employer la relation (62). 
On trouve ainsi : 
_ 00 (IX z n+ 1 
V / \ — 2zx z 2 = I — zx -+- (1 — x 2 ) "S —J-- .... (6(i) 
■***4 dx n(n -+- 1) 
III. D’après l’égalité (63), ces deux développements sont identiques; 
ce qui devait être. 
IV. Pour démontrer la formule (65), il suffit de prendre les dérivées des 
deux membres, par rapport à z (*). L’équation dérivée est 
—=^== = _ X + f (X„ - xX n _ H )z n+1 , 
V 1 — 2zx -t- z 2 » 
OU 
00 00 
( z — *)2 X " 2 '' = ~ x 2(X„-xX ll+l )z"+'; 
Ü U 
elle est vérifiée par z = 0; et dans les deux membres, les coefficients 
de z n+{ sont égaux. 
V. Dans l’égalité (66), transposons 1 —zx : le premier membre devient 
, /- Z 2 ('l — x 2 ) 
Kl — 2zx + z 2 — (1 — zx) = ■ ■■ - - . 
V \ — 2 zx + z’ + t — zx 
(*) En effet, cette équation a lieu pour z = 0. 
