SUR LES FONCTIONS X w . 
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Si l’on suppose y = x n , le second membre se réduit à 
kf +l ^- x ^ ndx ’ 
ou, si l’on fait x — cos«, à 
2 rl . , , , 2 2.4.6...2» 
— f 1 Sin 2,!+ ada = — 
«0 n J G\n 
5 . 5.7 ... 2 n 1 
etc. 
36. Théorème. Si n et p sont de même parité, et que p ne soit pas 
inférieur à n (*), on a 
f 
= 1 V{V ~' ] 
( p — n -4 - 1 ) 
(p — n -t- 1 )(p — n -h 3)... [p -4- n -+- 1 ) 
(75) 
Ce théorème, généralisation du précédent, se démontre presque aussi 
facilement. 
D’abord, par la proposition de Jacobi, 
/” +l , p ( p — î)...(» — i! + i) / ,+1 
/ X„x p dx ==-/ (1 — x ) n x p dx. 
J I . 2.3 .. . n. 2" .7 
En second lieu, la nouvelle intégrale équivaut à 
/ 4 i p -ta—1 
(1 — e ) n 0 2 de = 
r(n -+- l)r 
p — n 1 
+ jj + o 
-= 1.2 5. ..n- 
p—n 
2 1 1.5.5.. 
.(p — n - I) 
l\^+i 1.5 5... (p + u+l) 
2 / 
1.2.3... n. 2’ 2+l 
(p — nl)(p— n 3)... (p + « + 1) 
Substituant, on trouve le résultat énoncé. 
n- 
(*) Si ces conditions ne sont pas remplies, l’intégrale est nulle. 
(**) Pour éviter ce petit calcul, j’avais pris, dans le Traité de M. Bertrand, la valeur de 
