SUR LES FONCTIONS X„. 
49 
ou, ce qui est équivalent, 
( 82 ) 
Cette égalité est identique : les coefficients des mêmes puissances de x, dans 
les deux membres, sont égaux entre eux. En effet, ces deux membres sont 
les développements d’une même fonction. 
Cette simple identité fait découvrir de nouvelles propriétés des poly¬ 
nômes X„. 
66. Suite. Soit, en effet, 
X„ = a -+- bx ■+■ ex 2 -+■ • • • -+- Lc 2p ~" -+- 
et, par conséquent. 
D’après celte expression, le coefficient de dans le second membre 
de l’identité (82), est 
1 f d ip - n X n ~ 
î=3 (n -+■ 1 ) 1.2.3... 2jo — n L n _ 
Au moyen de la formule de Rodrigues, le dernier facteur se transforme en 
Donc, finalement 
n —p 2". 1 . 2 . 3 ... n -+- 1 . 1 . 2 . 5... 2p — n 
t 
(x 2 - 1 ) 
dx* 
(*) Pour les valeurs de n inférieures à p, les dérivées sont nulles : on doit donc les négliger. 
Tome XLIV. 
7 
