SUR LES FONCTIONS X„. 
Il y a deux cas à considérer : 
1°. Si n est impair, toutes les intégrales 
f*%X n dx, f+Xx^dx, 
sont nulles; et l’égalité précédente se réduit à 
f 71 [cos/îa -h cos n — 1 acosa + •••*+■ cos n a] sinarfa = 0. ( n impair) . . (100) 
2°. Si n = 2 n', la seule intégrale qui ne soit pas nulle est 
,+» 
Ainsi 
f X'n.rfjC = -T . 
*£, - n -+- 1 
f [cos na. -4- cos n — t a cos a -4- • • • -+- cos" a] sin ado. — . (n pair). . (101) 
J L n - 4-1 
77. Remarque. L’avant-dernière formule est une simple identité : à 
cause de n impair, chacune des intégrales 
cos nx. sin ada., f ‘ cos n — I acosasinat/a, . f r cos n xsinada 
•i 0 
est nulle (*). 
Mais, si n est pair, il n’en est plus de même ; et la formule (101) en donne 
une autre, assez curieuse. 
78. Une sommation. Écrivons d’abord ainsi cette formule (101) : 
7T _ . 1 
J* [cos Uct <+- cos n — laCOSa +•••-+- COSa. cos” —1 a -4- cos" a] sin arfa == --- (**); 
0 
O On a 
sin(r — «) = sina, cosn(;r — a) = — cosnx, cosra — l(;r — a)cos(*r — a) = — cos?i — 1 a. cos a, ... 
Ainsi, les éléments de chacune des intégrales sont, deux à deux, égaux et de signes contraires. 
(**) En reprenant la discussion précédente, on voit que, n étant pair, les éléments de chacune 
des intégrales sont, deux à deux, égaux et de même signe. 
