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SUR LES FONCTIONS X„. 
L’identité (102) devient donc 
80 
T 
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ce qui est exact (*). 
VI. — Nouveaux développements de X n . 
80. Pour ordonner, suivant les puissances croissantes de x , le poly¬ 
nôme X„, on peut employer, soit la formule de Rodrigues, soit celle-ci : 
Qn+i sYÎE. _ 
X n =- J 2 cos n <p(xcostp -4- 1 sinep)"«îcp (**).(103) 
1°. On a : 
_i) n =(- i) n (i — x 2 ) n = (— i) n 2 (— u 
n (n — 1 ).. n — p -t- 1 
1.2.3... p 
r 2p 
d n (x 2 —l) n , n(n —1). .n — p -+- 1 
= (- 0"1(—O'—-- zr - 2p(2p — l)...(2p-n + 1)x 2 ' -, 
dx n 
1.2 _ p 
pourvu que 2 p soit égal ou supérieur « n. 
Par suite, 
_ n 
. . (104) 
(*) D’après cette application, il semblerait que les quantités 
• 2(7 0 , Xo 2 , 2« 4 , . 
sont divisibles, respectivement, par les nombres impairs 
n + 1 , n — 1 , n — 3 , ; 
mais cette propriété n’est pas générale. Les valeurs de a 0 , « 2 , a t , ... ont été mises sous une 
forme simple , par MM. Baher, Villarceau et Ronkar. (IV. C. M., t. VI, pp. 100 et 226.) 
n m ., P . 12 . 
Tome XLIV. 
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