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SUR LES FONCTIONS X n . 
Donc 
/ +' 1 K / 9-17 \ 3 
Vl Y ,dx = ^ (45 - — + H - 3j = - (265 — 217) = 18 = 2.5*. 
— 1 
105 . Remarque. D’après les deux derniers théorèmes, 
V„,) \ n ,dx = 0. (n'^n).(155) 
106 . Théorème. 
/"*■' V„x p dx = 2 (*). (/> ^ n).(134) 
D’après la définition (123), le premier membre égale 
/ j +, x»rf(x n -+- x B+1 )=[x»(x n + x n+1 )]t; - P y; +1 (x n + x^-*^. 
Le terme intégré se réduit à 2; la nouvelle intégrale est nulle; donc, etc. 
107 . Théorème. Si f(x) est un polynôme entier, dont le degré ne surpasse 
pas n, on a 
/ +1 V n /-(x)dx = 2/-(l) n .(R) 
Soit 
f(x) = A 0 x p -+- A,x p 1 A p . 
D’après la proposition précédente, 
f+ i \ n f{x)dx = 2(A 0 + A 4 + ••• + A p ) = 2/(4). 
(*) Un cas particulier de cette formule a été donné par M. H. Laurent (Journal de Resal, 
t. 1, p. 585). La fonction <p(x , z ), de M. L. (ou de M. Heine), se réduit, pour 2=1, à notre 
fonction V„. 
(**) Ce théorème, qui comprend ceux qu’on vient de voir, nous semble remarquable. Du 
reste, il devient évident si l’on remplace V„ par -t- , et que l’on intègre par parties. 
clol> O.X 
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