SUR LES FONCTIONS X„. 
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127. Intégrales elliptiques. — Suite. De la formule 
V 1 — 2zx -+- z 1 = I — zx ■+■ N (X„ — xX n+1 ) 
n 2 
(65) 
il résulte 
/ 
+* 1/1 _ 3 
zx 4- zr 
1/1 — x 2 
-t/x 
= / ,+l -—— rfx -v- y f ——— 
</ l/ I _ n,2 r»+2 / l/l — - 
(/x. 
La première partie du second membre égale w. De plus, si n est impair , 
f 
+’ X, — xX 
»+i 
1/1 — x 2 
dx = 0; 
et, si n est pair, cette intégrale égale 
f 
“ X„ - xX„ + , 
l/l — x 2 
dx. 
Remplaçant n par 2 n, nous avons donc, au lieu du second membre, 
X -în+2 /"* 1 V ™Y 
2 ~ / A 2n - XA 2 „ +t 
--- / ■ - dx. 
. n -t- I J 
1/1 
Si, dans le premier membre, on fait x = — cos20, il devient 
2 / 
d 0 V 1 -+- z 2 4- 2z cos 28 = 2 ( 1 •+- z’ 
//' V >- 
4z 
(1 4- Zj 2 
sin 
Pour simplifier la nouvelle intégrale, j’emploie la relation connue (*) 
6 2 F, (c) = 2E, (c)- (1 -4- c)E,(c'). 
(*) Fonctions elliptiques (t. I, p. 84). Legendre l’écrit ainsi, pour le cas général : 
6 2 F(c, f) = 2E(c, ? ) — 2(1 -4- c)E(c', ■/) -t- 2csin» 
