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SUR LES FONCTIONS X„. 
En y faisant 
C = Z, C — 
2l /z 
I -+- Z 
j’obtiens 
puis 
( I + Z) E, (c') = 2E X (z) — (I - Z 2 ; F, (z) ; 
. , t I * z 2n + 2 X 2 „ - xX 2 „ +1 
SE.W-C.-OF .W-ï + iSj^y ■ ■ < I6 °| 
128. Intégrale de deuxième espèce. La dernière formule, combinée avec 
celle-ci : 
„ r K x? n dx 
f,w-2*- / ,._ 
« % 1/ I — x 2 
(S) 
donnerait le développement de E, (z). Mais nous aurons un résultat plus 
simple en procédant comme il suit. 
On déduit, de l’équation (160) : 
2 ^ + 2 zF 1 -(t-z 2 )^-=f z 2 - 1 f i Sîn ~ XXî " +l - dx. 
dz dz ^ J 1 /1 _ x 2 
Or : 
dE,_l ^F,__ 
dz z [ji lh dz z (1 — z 1 ) 
F,] (*)■ 
Le premier membre de notre équation devient donc 
- (F, - F,) + 2zF, - - [E, - (1 - z 2 )F,] = - [E x — ( I — z 2 ) FJ. 
z z z 
avec la condition : 
cos 2«/ — A cos y — c sin ! j>. 
Si I on suppose <p = ir, on a <p' = f ; et l’équation précédente devient 
26 2 F,(c) = 4E t (c)-2tH-c)E ^c'); 
etc. 
(*) Legendre, t. I, p. 62. Il résulte, de la seconde formule, que l’on peut développer E, sans 
passer par les calculs effectués dans le numéro précédent. Néanmoins, ces calculs ne nous 
paraissent pas inutiles. 
