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Nous dirons que tout ensemble de fonctions tel que l'ensemble 
(1), constitue un système complet de fonctions fondamentales har¬ 
moniques relatives au domaine (D). 
Tl existe des fonctions fondamentales harmoniques qui sont par¬ 
ticulièrement remarquables pour la raison suivante: connaissant le 
système complet de ces fonctions pour un certain domaine (D), on 
a non seulement le moyen de résoudre, pour ce domaine, le Pro¬ 
blème de Dirichlet ainsi que celui où la fonction harmonique de¬ 
mandée, au lieu de prendre des valeurs périphériques données à 
l'avance admet, suivant la normale à la frontière, une dérivée ne 
différant que d'une constante d’une fonction donnée, mais encore 
celui qui consiste à calculer une fonction biharmonique ! ) dans le 
domaine (Z)), étant donnée la dérivée de cette fonction suivant la 
normale à la frontière, et les valeurs périphériques de la fonction 
elle-même. 
Le but principal de ce mémoire est de déterminer dans certaine 
cas particuliers les fonctions fondamentales dont je viens de parler. 
Je n'étudierai donc, pour le moment, la théorie générale de ces fonc¬ 
tions que d'une façon très sommaire, en me réservant de l'exposer 
sous une forme complète dans un travail sur la théorie générale de 
l'équation biharmonique. 
Je déterminerai les fonctions fondamentales en question pour un 
domaine circulaire, pour une couronne limitée par deux cercles con¬ 
centriques et pour un domaine elliptique. 
J'obtiendrai par cela même, pour chacun de ces domaines, des 
solutions nouvelles 2 ) et élégantes des Problèmes mentionnés plus 
q A l’exemple de plusieurs auteurs j’appelle „fonction biharmonique“ tonte 
integrale de l’équation du 4 -e ordre 
A*v = 0 
où le symbole opératoire A est définie par l’équation symbolique: 
£ 2 
9 Xi 2 
2 ) L’équation biharmonique a déjà fait l’objet d’un assez grand nombre de 
travaux; on consultera en particulier les mémoires suivants: 
Lauricella. Integrazione dell’equazione A 2 (A 2 u) — 0 in un campo di forma 
circolare. (Atti della R. Accademia delle scienze di Torino, vol. XXXI; a. 1896 ). 
Levi-Civita. Sull’integrazione dell’equazione A A = 0 . (Id.; vol. XXXIII;. 
a. 1898 ). 2 2 
