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même sur la frontière (S) de ce domaine. Cela posé considérons 
une fonction v (A) des coordonnées du point A vérifiant l'équation 
fonctionnelle suivante: 
v (A) -f- X J A (^Lj B) v (B) dï B — u (A ), 
( 6 ) 
CD) 
où X représente un paramètre. 
L’équation précédente est une équation fonctionnelle fredhol- 
mienne. On prouvera aisément soit en s’appuyant sur la belle théo¬ 
rie de M. Fredholm 1 ) soit en appliquant la méthode de M. Poin¬ 
caré 2 ) les propositions suivantes: 
1° La fonction v (A) existe, elle est une fonction harmonique 
des coordonnées du point A et, considérée comme fonction du pa¬ 
ramètre A, elle est une fonction analytique qui, à distance finie, n’ad¬ 
met pour points singuliers que des pôles simples, réels et positifs. 
2° Si l’on désigne par X' un pôle de la fonction v (A\ le ré¬ 
sidu correspondant V (A) satisfait à l’équation fonctionnelle 
V (A) + X' JV (B) F (A, B) dï B = 0. 
( 7 ) 
m 
3° Toute fonction continue V (A) vérifiant une équation fonc¬ 
tionnelle de la forme (7) est nécessairement une fonction harmo¬ 
nique, combinaison linéaire et homogène à coefficients constants d’un 
nombre fini de termes pris dans une certaine suite infinie de fonc¬ 
tions harmoniques réelles: 
F. (A F, (4), T»(4J L, ' (8) 
jouissant des propriétés suivantes: 
À) On a: 
v* (A) + X„ j V k (B) F (. A, B) dl B (k = 1,2, 3...} ( 9) 
(D) 
en désignant par X k une constante nécessairement positive et que 
nous appellerons nombre caractéristique de la fonction V k . 
*) Sur une classe d’équations fonctionnelles. Acta mathematica 1903. Voir 
aussi un mémoire de l’année 1899 cité dans ce travail. 
2 ) Sur les équations de la Physique. Rendiconti de! Circolo matematico di 
Palermo 1894. 
