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(9) u ( A) =A 0 - (- (A 2t _ i sin k 6 A 2k cos k 6 ) (/, 
k = l 
où les Aj sont des constantes et où la série dn second membre est 
absolument et uniformément convergente pourvu que la variable 
vérifie l'inégalité: 
en désignant par r f une longueur inférieure au rayon r du cercle 
considéré, mais aussi voisine de cette limite que Ton voudra. 
Cela posé, il suffira d’envisager l’intégrale: 
J u 2 dl 
(D'j 
étendue au domaine {!)') limité par un cercle concentrique au cer¬ 
cle considéré et de rayon plus petit que lui, pour établir au moyen 
d’un passage aux limites n’ofirant aucune difficulté, la relation qu’il 
s’agit de démontrer. 
Voici une conséquence intéressante du théorème qui vient d’être 
démontré: soit u une fonction donnée harmonique à l’intérieur d’un 
cercle donné (C), telle que l’intégrale: 
J u 2 dl 
m 
étendue au domaine (D) limité par le cercle (O), ait un sens, mais 
d’ailleurs quelconque; il sera possible de faire correspondre à toute 
quantité positive e différente de zéro, mais aussi petite que l’on vou¬ 
dra, une fonction », harmonique dans un domaine contenant dans 
son intérieur tout le cercle (C) et telle que l’on ait: 
(10) J " [u—v ) 2 dl <C e . 
(DJ 
En effet, il suffira manifestement d’égaler la fonction » à la 
somme des n premiers termes de la série (27) du Chapitre II en 
ayant soin d’attribuer une valeur assez grande à l’entier n pour 
que l’inégalité (10) soit vérifiée. L’expression de la fonction v ob¬ 
tenue de cette façon sera évidemment harmonique dans toute por¬ 
tion finie du plan. 
§ 11. Les théorèmes du § précédent peuvent être aisément éten- 
