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./ 
u R dl 
VT. 
R B 0 C 0 ^ B* R'k < ^\l. i 
k=l 
oo 
öS T < e 
Ces inégalités et Féquation (22) donnent: 
oo 
J u*dl- TC 0 *-J? C t 2 < 4 I /TTe + e. 
CDj k=l 
Cette inégalité devant subsister pour toute valeur positive et 
non nulle de £, on aura nécessairement: 
oo 
ju 2 dl = iPV+Jd*. 
(D) k — 1 
C’est ce que nous voulions établir. 
§ 12. Considérons un domaine (D) dont la frontière totale (S) 
se compose de deux cercles concentriques (C x ) et (0 2 ) de rayons 
r L et r 2 . Nous admettrons que: 
r t < r 2 
et nous poserons: 
(23) e = u. . 
r ï ' 
ce qui donnera: 
(24) e < i . 
Le centre commun des deux cercles étant pris pour origine 
des coordonnées rectangulaires x et y , posons: 
x = Q cos (p 
y — q Sin <p 
en introduisant les coordonnées polaires q et (p. On sait que l’en¬ 
semble des fonctions: 
(25) log q , Q k sin k <p, Q k cos k cp, Q~ k sin k cp , ç~ k cos k çp 
(Je = 1, 2, 3 ,...) 
peut, au sens du § 1, être considéré comme un système complet 
de fonctions fondamentales Harmoniques relatives au domaine con- 
