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seront manifestement des polynômes entiers en x et y et elles con¬ 
stitueront, comme on sait, un système complet de fonctions fonda¬ 
mentales pour le domaine limité par l’ellipse (1). On a d’ailleurs: 
J v 2k _ 1 = ( e k '■ -f- e k S) cos k rj 
I v 2k == (e k '- — e~ k î) sin k rj , 
les variables x et y étant liées aux variables £ et i] par les équa¬ 
tions: 
( 6 ) 
x = -g (e^ e ’ ) c.os y 
y= - «"’) sin r\ 
Désignons par | 0 le nombre positif défini par l’équation: 
(7) 
= U e *°+ e 5 °) 
Dans ce cas, les équations ( 6 ) feront correspondre à tout point 
(a?, y) situé à l’intérieur de l’ellipse ( 1 ) ou sur cette ellipse elle-même, 
un système unique de valeurs des variables £ et ^ tel que l’on ait: 
( 8 ) 
I 0 ^ rj < 2 Ji 
Nous supposerons dans la suite que les variables £ et r\ ne sortent 
pas du domaine défini par les inégalités ( 8 ). 
Les équations ( 6 ) donnent: 
(9) dx 2 -f- dy 2 == °— I e 2 ^ -f- e ~ 2 ’— 2 cos 2 y J Çd^ 2 -[- drj 2 ^ 
et l’on trouve alors immédiatement: 
dvj _ —2 ( 9vj \ 
dN c J/g 2 £o_|_ 0 - 2 £o — cos 2 ^ = 
où il faut prendre la détermination positive du radical. 
La formule précédente donne de suite: 
dv 2 k —ï _ ^2fe—1 
dN |/g 2 £o _|_ e -2 ? 6 2 cos 2 7 ] 
dv2k _ V^k 
dN y e 2 Zo _|_ e -2 So — 2 cos 2 ri , 
( 10 ) 
