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Il en est ainsi parce que (14) entraîne (15). 
Cela posé il résulte immédiatement du théorème exprimé par la 
formule (7) du Chapitre précédent que Ton aura: 
( 34 ) F (Â, B) = —^ 2 % ( 4 ) Uj (B). 
3 = 1 
§ 15. Le problème de la détermination des fonctions fondamen¬ 
tales 1 ) définies au Chapitre II équivaut à la recherche de toutes 
les solutions du Problème qui consiste à trouver une constante s 
et une fonction continue V telles que Ton ait: 
(35) s V(A) +/ V(B) F (A, B) dl B — 0 
(B) 
pour toutes les positions du point A dans le domaine (Z)). 
Il est aisé de s’assurer de différentes façons qu’une fonction V 
vérifiant la relation (35) est nécessairement développable en une 
série uniformément convergente de la forme suivante: 
(36) V = £l, Uj 
3=1 
où les lj représentent des constantes. 
Observons que deux séries uniformément convergentes de la 
forme (36) ne peuvent représenter une même fonction qu’à la con¬ 
dition d’être identiques et substituons la valeur (36) de V dans 
l’égalité (35). Il viendra: 
(37) 
{ai—s) 4 + à, 4 = 0 
($2 S) 4 H - ^2 4 == ^ 
(a 8 ~-s) 4 + b 3 l 7 =0 
(«4 s ) 4 b é l 8 = 0 
bj-4 lj-4 “b (% — «) lj -f- bj l j+4 — 0 (J = 5,6,7 ,..) 
*) On ne manquera pas de remarquer la relation étroite qui existe entre les 
considérations qui vont suivre et la belle théorie développée par M. Hilbert dans 
son mémoire: Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichun¬ 
gen. Vierte Mitteilung. (Göttinger Nachrichten, 1906, Heft 2). 
