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Revenons à Féquation (71). Elle nous donne: 
«/4 (X) — ip„-i (X) = — a n l ip n _, (X)—ß„i, te V>n-2 (X). 
Par conséquent puisque l’inégalité (73) entraîne l’inégalité (77), 
quelle que soit la valeur attribuée à w, l’inégalité (73) entraînera 
aussi l’inégalité suivante: 
I ¥4 (X) — ty.-, (X) I < { a„ L -f ß„h L 2 } (p (L) . 
Les relations (41) et (42) permettent d’en conclure que la série: 
(4) + j 
n=l l 
Xpn (X) — (/l) 
est absolument et uniformément convergente dans le domaine dé¬ 
fini par l’inégalité (73). 
Donc la proposition que nous voulions établir est démontrée et 
l’on a: 
oo i 
V> (X) = 2 \ V" W — V"- 1 W 
ou bien: 
n=i 1 
OO à ^ 
(78) 
ip (X) = 1 -f Jjjjj’j ip„(X) — 1pn-l (X) J • 
n = t [ ) 
§ 18. Il est utile, en vue des applications ultérieures, de dé¬ 
composer la fonction ip (X) en facteurs primaires. A cet effet envi¬ 
sageons les nombres s k définies par l’équation (60), posons: 
(79) te = -- 
*1: 
et considérons le produit infini; 
( 80 ) =£('-!)■ 
A cause de la convergence de la série (66), ce produit sera con¬ 
vergent et représentera une fonction entière de À. 
Envisageons maintenant les nombres s^ définis au § 16 et 
posons: 
; w _ ^ 
s™ ; 
(81) 
