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la première de ces inégalités ayant lieu pour toute valeur de q 
supérieure à m. 
Nous supposerons dorénavant que l’inégalité (73) est vérifiée et 
que le nombre m ait une certaine valeur déterminée telle que les 
inégalités (85) soient entraînées par l’inégalité (73). Cela posé, il ré¬ 
sulte des relations (60), (79) et (81) que l’on pourra trouver un 
nombre entier et positif Q > m, tel que l’inégalité: 
(86) q ^ Q 
entraîne l’inégalité suivante: 
(87) 
< P- 
Les inégalités (73), (85) et (87) ainsi que la formule (80) et celle 
qui résulte de (82) moyennant le changement de n en donnent: 
( 88 ) 
0 (X)-tp € (A) 
< ! i+2 £( i +x l ) 
En résumé à tout nombre positif et non nul si petit qu’il 
soit, on peut faire correspondre un nombre entier et positif Q tel 
que l’inégalité (86) entraîne l’inégalité (88) pourvu que A ne sorte 
pas du domaine défini par l’inégalité (73). On a donc: 
lim ip q (À) — 0 (À) . 
2=00 
Par conséquent: 
(89) ty (Z) — //(; - f ) 
ii=i \ A k J 
en vertu des relations (72) et (80). 
La formule (89) fait connaître les facteurs primaires de la fonc¬ 
tion ip (À). 
§ 19. Les faits établis jusqu’à présent ne permettent pas de ré¬ 
pondre à la question de savoir si la fonction ty (A) peut avoir des 
zéros multiples. En effet, les relations (61) et (79) nous apprennent 
seulement que l’on a: 
(90) A l ^ l 2 <; a 3 ... 
mais elles ne donnent pas le droit d’affirmer qu’un certain nombre 
de termes consécutifs de la suite précédente ne puissent pas avoir 
une même valeur. Tout ce que nous pouvons dire pour le moment, 
