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Je fais maintenant la remarque suivante: les racines de l'é¬ 
quation : 
<P„, s |/ ß) = 0 
séparent celles de l'équation: 
Wn, k (4 = 0 • 
C’est ce qui résulte d'un théorème bien connu et ce que l'on 
vérifierait directement avec la plus grande facilité en s'appuyant 
sur les relations (94). 
Cette remarque et les propositions qui viennent d'être énoncées 
conduisent à la conclusion suivante: si un nombre X' était un zéro 
multiple de la fonction cp k (2), ce nombre serait nécessairement un 
zéro de la fonction cp k+1 (À). Or l’équation (94) donne: 
Vk ß) = (iS«» %) çvm ß) — ß 2 <Pk+2 ß) (105) 
en faisant croître indéfiniment l'entier n et en passant à la limite. 
La relation (105) nous apprend que les deux égalités: 
q>t ß') = <p„+i ß') = o (106) 
entraîneraient la relation: 
¥>.(*) = 0 (107) 
pour toute valeur de q vérifiant la condition: 
q^k. (108) 
Donc, si la fonction (p k (X) admettait un zéro multiple X' : le nom¬ 
bre X' vérifierait l'équation (107) pour toute valeur de q vérifiant 
la condition (108). Or aucun nombre X' ne peut jouir de cette pro¬ 
priété. En effet il résulte de l'inégalité (99) et de l'équation déduite 
de (101) par le changement de k en q que, quel que soit le nom¬ 
bre X\ il cessera de vérifier l'équation (107) pour des valeurs as¬ 
sez grandes de l'indice q. Il est donc établi qu'aucune des fonctions 
cp k (X) ne peut avoir un zéro multiple. Or la fonction (p t ( X ) est, par 
définition, identique à la fonction tp ( X ). Par conséquent la fonction 
ty (X) n'admet pas de zéro multiple. C'est ce que nous voulions 
établir. 
En résumé les relations (90) doivent être remplacées par les 
suivantes: 
X\ ^ X 2 < Z X 3 j ... 
(109) 
