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§ 20. Ainsi que nous l'avons, fait remarquer à la fin du § 15 7 
les inconnues du problème qui nous occupe sont le nombre s et les 
quantités (45). Il résulte immédiatement des équations (43) que la 
solution du problème se ramène à la détermination de l’inconnue s 
ou. eu égard à (68), à celle de la nouvelle inconnue X. Je dis que l’en¬ 
semble des valeurs cherchées de l’inconnue X, coïncide avec l’en¬ 
semble des termes de la suite (109), c’est-à-dire avec l’ensemble 
des racines de l’équation: 
fl 10) ip\X) = 0. 
Pour établir qu’il en est bien ainsi, j’observe que deux termes 
consécutifs de la suite (45) ne peuvent jamais être égaux à zéro- 
En effet d’une part, tous les termes de la suite (45) ne peuvent évi¬ 
demment pas être nuis et d’autre part, il résulte des équations (43) 
que l’évanouissement de deux termes consécutifs de la suite consi¬ 
dérée entraînerait celui de tous les autres. Il est donc établi que 
la suite (45) est infinie. 
Les équations (48), (68), et (69) donnent: 
(111) ip„ (X) a„ - X xp„_, ( X ) ß„ a„ +1 = 0 . 
Il résulte immédiatement des théorèmes relatifs aux polynômes 
ip n (X) et établis plus haut qu’à toute valeur déterminée de X quelle 
qu’elle soit, il sera possible de faire correspondre un entier et po¬ 
sitif E tel que l’inégalité: 
(112) n ^ E 
entraîne la suivante: 
( 113 ) </>„_/ (X) 4 = o . 
Par conséquent, et parce que l’inconnue X ne peut évidemment 
pas se réduire à zéro, l’équation (111) nous donnera: 
(114) 
(- 1 ) 
a n ß n X ( X ) 
pour toute valeur de n vérifiant (112). 
Supposons que X ait une valeur qui ne coïnciderait avec celle 
d’aucun des termes de la suite (109). Dans ces conditions la va¬ 
leur absolue du rapport: 
G, 
