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C’est ce que Ton conclura aisément de l’étude faite plus haut 
des polynômes ip n [À). 
Or la valeur de A entrant dans l’équation (115) est réelle (et 
positive) puisque c’est une racine de l’équation (110). Nous pour¬ 
rons donc admettre que l’inégalité (112) entraîne les inégalités (113) 
et (116) pour la valeur de À entrant dans l’équation (115). Plaçons- 
nous dans cette hypothèse et supposons en outre que la valeur attri¬ 
buée à n dans l’équation (115) vérifie l’inégalité (112). Dans ce cas 
l’inégalité: 
(117) k^E 
entraînera évidemment les deux inégalités suivantes: 
(118) 
'4>k-, (X) =|= 0 
». w 
»*-, 0*) 
>o. 
Changeons dans l’équation (71), n en k-\-l. Il viendra: 
(119) »»^ (-1) = (1— a u+1 X) (X)—ß^ X" (X) . 
La valeur considérée de A est, on se le rappelle, réelle et po¬ 
sitive, le nombre a k+1 est positif, enfin l’inégalité (117) entraîne les 
inégalités (118). Il résulte de ces faits et de l’équation (119) que 
l’inégalité (117) entraîne la suivante: 
( 120 ) 
»»+< w 1 
».« 
Divisons l’équation (115) par (A). Il viendra: 
( 121 ) 
». w 
».-1 w 
Nous avons: 
°° I I 
A 2 ß n 2 -f- Jjjj j ccj l+t A -|- ß k 2 A 2 } 
k=n \ J 
^ (A) 
tyn-l (A) * 
tyk (A) _ jj ipi (A) 
tyn -1 (A) ~ <-« tyi-1 ( A) 
pour: 
(122) k > n . 
Or le nombre n vérifie par hypothèse l’inégalité (112) et l’iné¬ 
galité (117) entraîne l’inégalité (120). 
