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Le facteur constant dont nous venons de parler sera parfaite¬ 
ment déterminé au signe près; on pourra fixer ce signe suivant une 
règle que Ton pourra instituer comme on voudra. On obtiendra de 
cette façon le système demandé de fonctions fondamentales. En effet, 
il suffit de se reporter aux remarques faites au § 15 au sujet des 
fonctions fondamentales de la forme (44), pour reconnaître que toute 
fonction vérifiant identiquement la relation (35) sera une combinai¬ 
son linéaire et homogène à coefficients constants d’un nombre fini 
(de quatre au plus) des fonctions considérées. D’autre part si l’on 
désigne par V et V' deux fonctions distinctes du système précé¬ 
dent, on aura: 
V V' dï = 0. 
(129) 
En effet si ces fonctions correspondent à une même valeur du 
nombre _p, elles correspondront à des valeurs différentes A et A' 
du paramètre A et dans ce cas la relation (129) sera une consé¬ 
quence nécessaire des deux identités suivantes: 
V (4 + 2 J V' (B) F (A, B) 
(O) 
dï, 
et 
V' (4 + X' J V' ( B) F (A, B) di B = 0 . 
CD ) 
Si au contraire les fonctions V et V' correspondent à des va¬ 
leurs différentes de l’entier p. la relation (129) résultera de ce que 
ces fonctions sont de la forme (44) et de ce que les inégalités: 
j+f 
H j-m + * 
entraînent la relation: 
J *4 u r dï = 0 . 
(D) 
Or du moment que deux fonctions distinctes V et V' faisant 
partie du système considéré vérifient toujours la relation (129), les 
fonctions de ce système sont nécessairement linéairement indépen¬ 
dantes. En résumé il ressort de l’ensemble de ce qui précède que 
le système en question sera bien un système complet de fonctions 
fondamentales tel que le système (8) du Chapitre II. Nous avons 
donc obtenu une solution complète du Problème qui nous occupait. 
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Bulletin III. 
