326 Ritter, Beiträge zur Physiologie des Flächenwachstums der Pflanzen. 
Selbstverständlich kann ja die Übereinstimmung zwischen 
diesen Wurzelwerten und unseren Zwischenzahlen zunächst schon 
als zwischen irrationalen Größen und ganzen rationalen Zahlen 
auch nur eine beschränkte sein, und so ist es denn schon des¬ 
wegen gar nicht zu verwundern, daß in einem Falle die Abweichung 
zwischen Theorie und Praxis, auf den Zentimeter bezogen, sogar 
4^/0 beträgt. Bedenken wir aber noch zudem, daß auch überall 
da, wo das Längenmaß eines Blattes nicht genau mit einem 
Vielfachen des Millimeter kollidiert, also in den meisten Fällen, 
wo vielleicht gerade die theoretisch verlangte Größe erreicht ist, 
dennoch die Feststellung der größeren Annäherung an eine der 
in solchen Fällen in Betracht kommenden fraglichen zwei Größen 
stets wieder nur einen ganzzahligen Wert zum Ausdrucke bringt — 
eine noch kleinere Maßeinheit erschien nicht empfehlenswert — und 
ziehen wir in Erwägung, daß in allen den Fällen, wo etwa der 
theoretische Wert ziemlich stark nach einer benachbarten unserer 
rationalen Zahlen hinneigt, als z. B. bei 10-y 3 =17,3 nach 18, tat¬ 
sächlich dann auch diese eine unverhältnismäßig starke Frequenz 
aufweisen, und zwar um- so mehr, je geringer der Größenunter¬ 
schied der Differenzen zwischen einem solchen genau berechneten 
Wurzelwerte und den ihn einschließenden unserer empirischen 
Maßzahlen ist, so meine ich, jeglichen Zweifel daran, daß unsere 
Zwischenzahlen auch wirklich die Quadratwurzeln aus den Zahlen 
der Fibonacci - Reihe zum Ausdrucke bringen, schon deshalb 
als beseitigt betrachten zu dürfen. 
Offenbar aber dürfen wir ja auch nicht in dem Millimeter den ,,all¬ 
gemeinen Maßstab“ der Natur erblicken; und es will mir deshalb 
angebracht erscheinen, da man im allgemeinen nur wird erwarten 
können, daß die Abscissenintervalle im Verhältnisse dieser Quadrat¬ 
wurzeln stehen, unserem Gipfelgesetze folgende allgemeine Fassung 
zu geben: Das Verhältnis der Maßzahlen zweier zusammengehöriger 
Intervalle — durch Nebenzahlen können diese wieder in Unter¬ 
etappen gegliedert,werden — ist gleich dem Quotienten der Quadrat¬ 
wurzeln aus zwei Fibonacci-Zahlen; oder anders ausgedrückt: 
Das Verhältnis der zweiten Potenzen der Maßzahlen zweier zu¬ 
sammengehöriger Intervalle ist gleich dem direkten Quotienten aus 
zwei Fibonacci-Zahlen. 
Haben wir nun so gefunden, daß auch bei unseren phyllo- 
metrischen Untersuchungen die Fibonacci-Zahlen eine Rolle 
spielen, so sind wir offenbar auch berechtigt, für das Überwiegen 
unserer Zwischenzahlen dieselbe Erklärung heranzuziehen, wie sie 
Ludwig, wie wir sahen, für die von ihm festgestellten Erschei¬ 
nungen gegeben hatte. 
Man hat demnach also auch hier anzunehmen, daß eine 
rhythmische Zweiteilung unserer Plasome statthat, daß aber eben¬ 
falls die aus der Teilung hervorgehenden Teilstücke in Bezug aut 
ihren Reifezustand nicht äquivalent sind, sondern sich wie IMutter 
und Tochter zueinander verhalten, so daß die letzteren auch hier 
wieder erst eine Periode des Heranreifens durchleben müssen, 
bevor auch sie sich, von der nächsten Generation an, regelmäßig 
an der Teilung mit beteiligen. Auch hier wieder kann nun die 
Vermehrung dieser letzteren in Unteretappen vor sich gehen — 
