434 Vogler, Die Variation der Blattspreite bei Cytisus laburnum L. 
der Blattflächenkurve nach den Zahlen des Fibonacci beigebracht 
zu haben. 
Nun erhebt sich die Frage: was läßt sich aus dem vorliegenden 
sehr reichen Material von Messungen bei Cytisus laburnum erschließen? 
Die Antwort ist absolut negativ. Wohl finden wir überall mehr- 
gipflige Kurven; aber wir können sie untersuchen und stellen, wie 
wir wollen, ins Fibonaccischema hinein gehen sie einfach nicht. 
Das mag in aller Kürze noch gezeigt werden: Wir setzen 
also voraus: Einer bestimmten Flächeneinheit entspricht eine An¬ 
lage; diese Anlagen vermehren sich nach dem Schema des Fibonacci. 
Die Flächenvariationskurve soll somit eine Fibonaccikurve ergeben. 
Da wir aber die Fläche nicht direkt messen können, und eine 
exakte Berechnung auch nicht möglich ist, so müssen wir die 
Kurven der linearen Dimensionen allein berücksichtigen. 
Ii : I 2 :1 3 etc. = Ffi : Fi 2 : Fi 3 etc. 
ist also unsere Voraussetzung, wenn U etc. die Gipfelklassen der 
Flächenkurve, Fii etc. die Fibonaccizahlen bedeuten. 
Li Bi : L 2 B 2 : L 3 B 3 = I, : I 2 :1 3 = Ffl : Fi 2 : Fi 3 . 
Berücksichtigen wir nur Blättchen einer bestimmten Breite, 
so erhalten wir somit: 
Li : L 2 : L 3 etc = Fii : Fi 2 : Fi 3 etc. 
In Worten: Die Gipfelzahlen der L.-Kurve der Blättchen 
einer bestimmten Breite verhalten sich wie die Fibonaccizahlen. 
Um eine große Zahl von Varianten zu bekommen, nehme ich 
die Blättchen der Breite 20 mm, weil diese die häufigsten sind, 
vermehrt um die von 19 und 21 mm, und erhalte dann folgende 
Kurve für die Länge: 
L. mm 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 
Frequenz: 3 4 8 3 16 15 16 22 31 50 48 42 70 59 117 67 71 65 
L. mm 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 ~56 57 ~58 59 
Frequenz: 55 62 45 41 53 50 57 25 39 31 27 11 5 6 2 3 = 1200 
Die Kurve ist mehrgipflig; aber ich kann die Gipfel nicht 
als Multipla von Fibonaccizahlen erkennen. 
Bei Vinca minor ging ich seinerzeit aus von der Kurve für 
L. x Br. und glaubte dort die Gipfel gefunden zu haben auf dem 
10 fachen der Fibonaccizahlen. Wenn wir hier die gleiche Fläche 
als Einheit zugrunde legen würden — Ritter nimmt ja das auch 
für die Blätter verschiedenster Pflanzen an —, so kommen wir zu 
folgender Rechnung: 
L. Br. = 10 Fi. 
Br. I 20 
Die Gipfel der L.-Kurve müßten also angenäherfc auf ~ fallen: 
also auf 55:2 = 27,5; 89:2 = 44,5 für die Hauptzahlen; 68 : 2 = 34; 
110:2 = 55 für die Dupla, und 63:2 = 31,5; 102:2 = 51 für die 
Tripla derselben. 
