Vogler, Variationsstatistische Untersuchungen an den Dolden etc. 7 
84 ist aber so scbarf ausgeprägt, daß er nicht lediglich dem Zu¬ 
fall zugeschrieben werden kann. Ich möchte eher an die Unzu¬ 
lässigkeit rein mathematischer Ableitung der Gipfelzahlen glauben, 
wie sie Ludwig am angegebenen Orte versucht. Für die Haupt¬ 
zahlen der Fibonaccireihe können wir uns bekanntlich eine Vor¬ 
stellung machen über den Rh 3 ühmus, nach dem sich die Anlagen 
teilen müßten, damit diese Zahlen bevorzugt seien. Ferner läßt 
sich eine nachträgliche Verdoppelung leicht vorstellen, sodaß man 
die ersten Nebenzahlen erhält. Mindestens ebenso leicht ist dann 
aber noch eine zweite Verdoppelung denkbar, wodurch wir die 
Quadrupla erhalten. Ich möchte also nur um eines mathematischen 
Prinzipes willen die Zugehörigkeit der Zahlen 52 und 84 zur 
Fibonaccireihe nicht ausschließen. Daran anschließend mag ferner 
noch aufmerksam gemacht werden auf das absolute Fehlen von 
Gipfeln auf den drei- und fünffachen Multipla der Hauptzahlen, die 
nach Ludwig in die Reihe hineingehören, in unsern Kurven. Eine 
sukzessive Verdoppelung der Anlagen ist übrigens schon a priori 
einfacher vorstellbar als eine Verdreh oder Verfünffachung. 
Nachdem wir so die große Mehrzahl der Gipfel unserer Kurve 
der gesamten Blütenzahlen mehr oder weniger leicht einreihen 
konnten in die vom Ludwig’schen Gipfelgesetz geforderte Zahlen¬ 
reihe, bleiben aber doch noch zwei Kiuwenabschnitte übrig, die 
sich unter keinen Umständen fügen: Die dreigipflige Erhebung 
zwischen 69 und 83 und die zweigipflige zwischen 56 und 63. 
Bloßer Zufall können sie nicht sein; denn sie treten ebenso deut¬ 
lich hervor, auch wenn wir -nm* die Dolden mit sechzehn Hüll¬ 
blättern oder sechzehn Zwitterblüten berücksichtigen; ebenso dürften 
Summationsgipfel ausgeschlossen sein. In keinem dieser beiden 
Kurvenabschnitte liegt irgend eine Haupt- oder Nebenzahl der 
Fibonaccireihe, sodaß hier wohl eine andere Gesetzmäßigkeit zu¬ 
grunde liegen mag. Zur sichern Feststellung einer solchen ist 
aber das Material doch noch zu spärlich. Aufmerksam zu machen 
ist immerhin auf folgendes: Ähnlich wie die Fibonaccireihe lassen 
sich durch Annahme ganz einfacher aber etwas modifizierter Art der 
Anlagenvermehrung noch andere Reihen erhalten. Unter diesen ist 
die bei Ludwig^) als Trientalisreihe angeführte für uns speziell 
hervorzuheben; ihre Hauptzahlen sind nämlich: 1, 3, 4, 7, 11, 
18, 29, 47, 76 u. s. w.; Dupla, Tripla und Quadrupla etc. davon 
gel3en die Nebenzahlen. Es fallen davon in die beiden Intervalle: 
58 als Duplum von 29; 76 als Hauptzahl, 72 als vierfaches von 18. 
Wenn die letzten zwei auch nicht gerade Gipfelzahlen sind, so 
sind es doch Nachbarzahlen von solchen. Dazu kommt noch, daß 
die beiden Knickungen der Kurve der Hüllblätter auf 18 und 14, 
d. h. auf einer Haupt- und einer Nebenzahl der Trientalisreihe 
liegen. Ebenso ist hier auch auf die Abflachung des di-eizebner 
Gipfels der Zwitterblüten aufmerksam zu machen und darauf, daß. 
Beiträge zur Phytarithmetik. IH: Eine neue Darstellung der Näherungs¬ 
werte der Kettenbrüche und die Verwandtschaft der phyllotaktischen Haupt¬ 
reihen. (Bot. Centralbl. 71, 1897.) 
