10 MEMÓRIAS DA ACADEMIA REAL 
8 . A proposição do § precedente pdde demonslrar-se in- 
directamente do seguinte modo. Se as forças AP, AQ [fig. 
7] são incommensuraveis, e é possível não serem equilibra¬ 
das pelas forças BQ , BP respectivamente iguaes, e parai- 
leias , não poderá a resultante das duas primeiras ter a di¬ 
recção da diagonal AB ; aliás a resultante de BQ, , e BP 
teria também a direcção dessa linha, e essas duas resultan¬ 
tes serião iguaes e contrarias, e por tanto equilibrar-se- 
hião. Supponharnos pois ser AR a resultante de AP , AQ: 
pela semelhança deste systema de forças com osystema BQ, 
BP, estas ultimas terão BR'= AR como resultante, a qual 
fará o angulo ABR’= BAR. De A tire-se para o prolonga¬ 
mento de PB uma recta AB'. que fique comprehendida no 
angulo BAR, e que faça B’P commensuravel com AP: 
completando o paraJielogrammo PQ e suppondo-o actuado 
por quatro forças AP, AQ', B'P , M'Q', estas forças produ¬ 
zirão o equilíbrio: logo a resultante de AP, e AQ' terá a 
direcção AB', e a de B Q\ B'P a direcção B'A , pois que 
se, á semelhança do que supposemos no parallelogrammo PQ, 
as duas resultantes ern PQ 1 actuassem dos dons lados da 
diagonal AB o binário constituído por essas resultantes 
não podia produzir o equilibrio. Ora sendo AR a resultante 
de AP, AQ, a resultante de AP , AQ 1 não pode tomar a di¬ 
recção AB 1 ; logo não é admissível a hypothese de se não 
equilibrarem as quatro forças do parallelogrammo PQ. 
9. Pelo que ultimamente temos demonstrado se reco¬ 
nhece, que qualquer binário AP , BQ [fig. 8] é equivalente 
ás ípjatro forças Ap, pq , qQ , QA , sendo Ap — qQ — \AP 
= i AQ; com efleito as duas forças do binário, tomadas em 
sentido contrario, é facil de ver que equilibrão com as qua¬ 
tro forças correspondentes aos lados do paralleloerammo pQ, 
pois que essas seis forças se reduzem ás quatro pA, Qq , 
QA,pq, as quaes se equilibrão [§§ 6, 7]. 
10. Úm binário póde transportar-se no espaço para uma 
posição qualquer , em que as forças se conservem parallelas 
á direcção primitiva , suppondo que os pontos de appli- 
cação das forças nas duas posições se achão todos ligados in¬ 
variavelmente. 
Seja dado vg. o binário 2 AB, 2 CD [fig. 9], que substi¬ 
tuiremos pelo parallelogrammo ABCDA, cujos lados repre- 
sentão quatro forças que actuão no sentido indicado pela 
