3 SEP. UN EXEMPLE DE REPRÉSENTATION CONFORME BULL. 177 
Pour ramener l’étude d’une fonction (w-forme) à celle d’une 
fonction uniforme, l’illustre géomètre Eiemann (voir sa disser¬ 
tation inaugurale : Grundlagen fur eine allgemeine Théorie der 
Functionen einer verànderlichen complexen Grosse) a eu l’ingé¬ 
nieuse idée suivante. Il s’est figuré que le plan {z) se compo¬ 
sait de n plans (nappes) différents superposés et que la varia¬ 
bilité de la variable s’étendait sur toutes les n nappes. A chaque 
point d’une de ces nappes ne correspond alors qu’un seul point 
du plan (£) et aux n points différents superposés dans les n 
nappes correspondent n points, en général différents, du plan 
{z). En tous les points z pour lesquels un certain nombre dfe 
points du plan (£) coïncident, un même nombre de nappes sont 
en connexion. Ces points ont été nommés par Riemann^omfc 
de ramification (Verzweigungspunkte, Windungspunlcte). Afin 
d’obtenir une transition continue d’une valeur de la fonction 
à une autre qui correspond à la même valeur de la variable 
indépendante, ou d’une nappe à une autre, on emploie des 
lignes de passage (Verzweigungschnitte, TJeber gang simien). Ges 
lignes qui ne se coupent nulle part elles-mêhies, mais dont la 
forme est d’ailleurs tout à fait arbitraire, sont menées ou bien 
entre deux points de ramification, ou bien entre un point de 
ramification et le point (unique) qui correspond kz = ^. Après 
avoir coupé artificiellement le long d’une ligne de passage 
toutes les nappes qui ont en commun les points de ramifica¬ 
tion correspondants, on rétablit la connexion des nappes, non 
pas telle qu’elle était avant l’application des lignes de passage, 
mais comme l’exige la nature de la fonction considérée. (Les 
figures 1,2 et 3, PL X, montrent par des sections transversales, 
dans trois cas différents, la connexion des plans le long d’une 
ligne de passage.) 
L’ensemble des n nappes, jointes comme il a été indiqué, 
forme pour la fonction en question ce que Riemann a appelé 
une Windungsflàche et ce qu’on appelle maintenant assez gé¬ 
néralement une surface de Eiemann. A l’intérieur de cette 
surface la fonction est donc uniforme. 
L’équation Ç =/ (z) établit une relation entre le plan (z) 
12 
