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H. AMSTEIN 
SEP. 4 
(ou la surface de Riemann) et le plan (Ç). Le plan (Ç) est pour 
ainsi dire une représentation ou une image (eine Abbildung) du 
plan (#). Gauss a le premier remarqué que par une représen¬ 
tation à l’aide d’une fonction d’une variable complexe, on ob¬ 
tient ce fait remarquable qu’à une figure infiniment petite 
dans le plan (/si) correspond une figure semblable dans le plan 
(£). Cette similitude a engagé ce célèbre mathématicien à don¬ 
ner à la représentation Ç = / (#) le nom de représentation 
conforme. Le rapport des dimensions linéaires de l’image à 
celles de l’original en un point quelconque est donné par la 
lu 
valeur absolue de la dérivée — =f (#), et la déviation de 
la dérivée mesure l’angle duquel l’élément considéré de l’image 
paraît tourné par rapport à l’élément original. De là il résulte 
que la similitude cesse d’avoir lieu dans tous les points pour 
lesquels f (#) devient zéro ou infiniment grand. 
Dans le mémoire cité ci-dessus, Riemann a énoncé le théo¬ 
rème suivant: Il est toujours possible de représenter sur la 
surface d’un cercle avec similitude des éléments infiniment 
petits une surface simplement connexe (c’est-à-dire une sur¬ 
face qui peut se transformer en un plan simple par une dé¬ 
formation continue). En outre, cette représentation conforme 
ne peut se faire que d’une seule manière telle qu’au centre 
du cercle corresponde un point quelconque donné à l’inté¬ 
rieur de la surface et à un point quelconque de la péri¬ 
phérie du cercle un point quelconque donné du contour de la 
surface. 
Le problème contenu dans cet énoncé a été résolu dans plu¬ 
sieurs cas plus ou moins simples, et certaines représentations, 
particulièrement celles transmises par les intégrales et fonc¬ 
tions elliptiques, ont été étudiées par différents géomètres. 
Qu’il nous soit permis, pour ne pas rendre compte ici de leurs 
travaux, de renvoyer au mémoire : TJeber die conforme Abbil¬ 
dung der Oberflàche eines regulàren Octaeders auf die Ober- 
flache einer Kugel; Vierteljahrsschrift der Naturforschenden 
Gesellschaft in Zurich, XVI . Jahrgang, 1871, pages 297-341, 
