13 SEP. 
UN EXEMPLE DE REPRÉSENTATION CONFORME BULL. 187 
point singulier, il faut qu’à un point mobile, partant d’une 
nappe et faisant le tour du point 0, un seul tour suffise pour 
revenir à la même nappe. C’est ce qui a effectivement lieu, 
comme le fait voir fig. 7, pl. X. Un point mobile qui ferait le 
tour du point Ç = , en partant, par exemple, de la seconde 
nappe, aurait besoin de trois tours complets pour revenir au 
point de départ (fig. 8, pl. X). 
2 2 
Par cette disposition des nappes, l’astroïde £ 3 -|-y? 3 = 1, 
ainsi que toutes les hypocycloïdes pour lesquelles r > 1 se 
3 
trouvent dans la première nappe. La rosace p = —cos 2^ est 
21/3 
entièrement située dans la seconde nappe, à l’exception du 
point quadruple, dont on peut, si l’on veut, répartir les quatre 
points simples sur les quatre nappes. Les courbes pour les- 
quelles 1 > r > sont toutes situées en partie dans la se¬ 
conde et en partie dans la première nappe, et les courbes 
1 
enfin, pour lesquelles r < , n’ont plus de points dans la 
première nappe, mais bien dans chacune des trois autres 
nappes. La fig. 9, pl. XI, où toutes les courbes sont tirées en 
plein, contient quelques représentants du système des hypo¬ 
cycloïdes et de leurs trajectoires orthogonales. Les fig. 11,12, 
13 et 14, pl. XII et XIII, qui ne sont que les copies de la précé¬ 
dente, font voir, par la distribution différente des lignes tirées 
en plein et des lignes ponctuées, la répartition des courbes 
sur les différentes nappes. Le plan (#), l’image de la surface 
de Riemann, est représenté dans la fig. 10, pl. XI ; les parties 
du plan correspondant aux différentes nappes, y sont munies 
des chiffres respectifs. 
A l’aide de cette dernière figure on est à même d’indiquer 
la nappe dans laquelle doit avoir lieu la rencontre sous un 
angle droit d’une trajectoire quelconque avec chacune des 
hypocycloïdes. 
