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H. AMSTEIN 
SEP. 20 
disposer de l’une des constantes arbitraires a et p en sorte 
que la résolvante des équations F (u,v) — 0 et u — av + p 
possède une racine double. Dans ce cas, le point u — av-\- p 
est le point de contact de la tangente (m,v) correspondante. 
Le problème : Etant donné a , déterminer p de la manière 
indiquée, revient à trouver tous les points de la courbe qui 
sont situés sur une droite passant par l’origine. En déter¬ 
minant les deux constantes ce et p de manière à ce que la 
résolvante admette deux couples de racines égales, ce qui 
en général est toujours possible, le point ainsi obtenu sera 
un point double ou un point de rebroussement. On en con¬ 
clut que les courbes de la classe n possèdent en général 
des points doubles et des points de rebroussement, tandis 
que les courbes de l’ordre n admettent des tangentes dou¬ 
bles et des tangentes stationnaires comme singularités ha¬ 
bituelles. (Cf. Salmon : Higher pl. curves.) 
Exemple. Cherchons les points doubles de la courbe 
(w* + — u 2 + v* — 0. 
En éliminant de cette équation et de 
au + pv + 1 zz 0 
la variable v, on obtient 
u kJ t 
4œ ,,3 , 6a 2 +a 2 /3 2 + 2/3 2 — fi" 
a 2 + P* ^ (« 2 + /3 2 ) 2 
+ 
î_±£ 
(a 2 + /S 2 ) 2 
= 0 . 
M2_+£) 
( a 2 + £ 2 ) 2 T 
Comme la courbe est symétrique par rapport aux axes coor¬ 
donnés , il est évident que ses points doubles seront symé¬ 
triques par rapport aux axes. Par conséquent, si les points 
doubles existent, il doit être possible de donner à a , p, p 
