29 sép. 
ETUDE DES COURBES PLANES 
BULL. 421 
Or, si A 0 = 0, la droite V == v, U = u est une tangente 
de la courbe et son point de contact est donné par l’équation 
A* (V — -y) -b A 2 (U — u) — 0. 
Si on a simultanément A 0 = 0 et A t = A 2 = 0, la droite 
V — v , U = u est une tangente double de la courbe. Ses 
deux points de contact s’obtiennent par l’équation 
A h (V— vY + 2A 12 (V — v) (U -u) + A 22 (U ~uf - 0. 
Pour que la courbe possède une tangente multiple, il faut, 
comme on vient de le voir, que /(U,V) satisfasse aux con¬ 
ditions 
A 0 = A i = A 2 = 0 ; 
la tangente est double, si les dérivées secondes de/(U,V), 
savoir A dl , A 12 , A 22 ne sont pas toutes égales à zéro, et ses 
points de contact sont réels ou imaginaires, suivant que 
A 2 _A 
^12 
A ^ O • 
- tt -22 v ? 
ils sont réels et ils coïncident, lorsque AJ 2 = A u A 22 . Dans 
ce dernier cas, la tangente considérée est une tangente sin¬ 
gulière de la courbe. Pour reconnaître la singularité qui a 
lieu, il faudrait tenir compte des premiers termes d’un ordre 
supérieur au second, qui ne s’annulent pas. Gomme cette 
étude est en général assez pénible, elle ne sera pas poussée 
plus loin, attendu que l’on va déterminer les singularités 
d’une courbe par un autre procédé qui, le plus souvent, pré¬ 
sente moins de longueur. 
On voit facilement quelles sont les conditions qui amènent 
une tangente triple, quadruple, etc. 
Exemple i. Pour la courbe 
(u* + vy-{u? — v*) = 0 
la droite à l’infini {v — u ~= 0) est une tangente double. Ses 
