H. AMSTEIN 
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points de contact u — ±v se trouvent dans les directions 
« — ±45°. (PL 24, fig.3 .) 
Exemple 2. La courbe 
(v — lf + (w — lf— <ïa{y— l) 3 + 26 (w— lf(v— 1) = 0 
possède une tangente triple u — 1, v — 1. Les trois points 
de contact sont déterminés par les équations 
21. Éléments singuliers . Soit u — u 0 ,v~v 0 une tangente 
singulière, ( x 0 ,y 0 ) son point de contact. Pour trouver la 
forme qu’affecte la courbe en ce point, on prend ce point 
pour origine, la tangente considérée pour axe des abscisses et 
la normale correspondante pour axe des ordonnées d’un nou¬ 
veau système de coordonnées, et l’on développe u et v sui¬ 
vant les puissances ascendantes d’une troisième variable t. 
Ces développements permettent de reconnaître l’ordre dont 
u et v deviennent infiniment grands à la nouvelle origine. 
On aura par exemple 
u—al~ m + a l t~ m + m ' +., 
v— bt~ n + M~ w+n ' +., 
où a,a 4 , b,b l ... sont des constantes différentes de zéro, 
m et n des nombres entiers, et puisque l’axe des abscisses 
est une tangente de la courbe évidemment n^>m. Alors 
quatre cas peuvent se présenter : 
1. Si m est un nombre impair et n un nombre pair, l’élé¬ 
ment de courbe se trouve des deux côtés 
de la normale et en entier du même côté 
de la tangente. La singularité en question 
tient à ce que le contact de la tangente 
avec la courbe est d’un ordre différent du 
Fig. 4. 
premier. 
