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Exemple 5. On propose de chercher les singularités de la 
courbe 
(u + 1)! = -*(?+!)■. 
En posant 
( u — — (1 + 1 2 ) 
( y = — 1 -M 3 
cette équation est identiquement satisfaite. On reconnaît fa¬ 
cilement que l’origine est un point de rebroussement de la 
première espèce et que la tangente u~ — 1, V — — 1 avec 
le point de contact æ = 0, y — 1 est une tangente singulière. 
Pour trouver la forme qu’affecte la courbe en ce dernier 
point, on transporte d’abord l’origine du système de coor¬ 
données au point æ = 0, y — 1, ce qui donne (Cf. n° 7,1.) 
_ H -* 2 _ — 1 + ^ 
- ^5 î V\ - ^3 
et l’on tourne ensuite les axes coordonnés d’un angle de 
— 45°. (Cf. n° 7, 2.). Alors il vient 
Comme dans ce cas m = 1, n — 3, le point considéré est un 
point d’inflexion. (PL 24, fig. 8.) 
22 . Polaires réciproques . L’équation de la polaire du point 
(£, rj) par rapport à la circonférence x* + y* = 1 est 
Çæ + rjÿ= 1. 
Si l’on pose J =— u. y — — t?, on obtient l’équation 
ux + vy -f- 1 =z 0 
qui a servi de point de départ au présent mémoire. Suivant 
qu’on l’interprète en coordonnées ponctuelles ou en coor- 
