137 
Såsom man vet har Euler på flera ställen och flera sätt sys¬ 
selsatt sig med integrationen af eqvationen 
x 2 (a+bx)y"+x(c -t-dx)ij'+(e+fx)y = o , 
hvilken också Pfaff i sina Disquisitiones Analyticce behandlat. 
Denna är dock ett högst specielt fall af ofvanstående eqvation (2) 
hvilkens integrering utgjort föremålet för en af mig anställd un¬ 
dersökning 
Som de fall, då man kan finna kompletta integralen till 
en differential-eqvation af n:te ordningen äro högst få, ja 
man kunde i allmänhet säga, inskränka sig till dessa tvenne 
A y^+A 1} + • • • +A y'+A y—o 
n° n—\ J \ J o J 
och 
4 n («) , n —1 («—1) Å , . 
Axy +A x . y + ...+A x.y+A y=o 
der A o , A , A etc. äro constanter, torde denna undersökning 
icke sakna intresse, särdeles som den på en dffferential-eqvation 
af högre ordning framvisar en applikation af Liouvilles berömda 
Differentiation ä indices quelconques , fullkomligt analog med 
den, som Liouville sjelf gjort vid integrationen af diflerential— 
eqvationen. 
(mx 2 +nx+p)y"+(qx+r)y'-\-sy=o. 
Om för korthetens skull sättes 
& = M = 
p p 
— 1 ) — .... (/x + i — p) 
2 
J^J —p.p, —1 . fn —2... ^4*1 —pi 
P 
och man differentierar eqvationen (2) jut, gånger och bestämmer 
/U. så, att det satisfierar eqvationen 
W, +M n _A_ 1 + M B _ a 6 „_ 2 + • • • +/ J > ,+ 6 0 =° 
erhålles 
x n \a +b x)y lU + n \x tl "(A +B 
v n n K n — 1 n — 1 
+x n - r ~\A +B x)y (/ * +n - r \ ... 
n — r n—r JU 
+(i +B x)y^ Jri —o 
der i allmänhet 
. . . . 
+x(A*+B x)y' uJr ~' 
