190 
erhålles utan svårighet, om ab— A 
u" +Ax' n u — o .(4) 
x 
Denna equation af 2:dra ordningen hörer således till Riccatiska 
slaget, och kan förmedelst vanlig quadratur under finit form 
integreras, så ofta 
m —-— ..(44) 
2n±t v J 
Men det finnes en annan form af 2:dra ordningen, nemligen 
y.r + lT +S,J = 0 .(°) 
som också hörer till Riccatiska slaget; ty genom att i (!) 
ponera 
ii' i» Td' s 
U X i T '*' 8 
y=- och 05 =( T + I )t 
och, såsom förut skedde, rätta ab=A J> förvandlas (I) till 
V > 
u'+— -— -+Au=o .(6) 
t m-\- 2 t ' ' 
hvilkens integration under finit form alltid är verkställbar, då 
4« i i« m _ 
m— -d. v. s. da- — + 2n. 
2/i+l rn + 2 
Detta bestämmer såsom integrabilitetsvilkor för (5), att 
r skall vara ett jemt tal, positift eller negatift . . (7) 
Yi hafva således funnit tvenne särskilta equationer af 
£:dra ordningen (4) och (5), som höra till det Riccatiska sla¬ 
get, med sina i (44) och (7) bestämda respectiva integrabili¬ 
tetsvilkor. Men båda dessa equationer äro dock högst spe¬ 
ciella fall af 
yr+’-^r = { Ax "‘+^)y .(») 
hvars generella integrabilitetsvilkor innehållas i följande 
Theorem. För att den lineära dijferential-equationen (8) må 
kunna under finit form förmedelst vanlig quadratur in¬ 
tegreras, ar det nödvändigt, men också tillräckligt, att 
emellan r, m och s den relationen eger rum, att 
. 
“ 2/z-f-l 
dä n är ett helt tal > hvilket som hetst eller o. 
(») 
