112 BÄCKLUND, OM DEN PLANA KURVAN AF TREDJE ORDNINGEN. 
Det är for öfrigt just medelst elliptiska integraler, eliuru med 
stöd af fullkomligt andra principer, Clebsch i den citerade af- 
handlingen härledt satserna om de Steinerska polygonerna. 
I stället för räta linier genom en punkt c kunna vi sätta 
kurvor af n:te ordningen genom 3 n —2 punkter c på C 3 , utan att 
väsendtligen förändra motsvarigheten emellan c och den koniska 
sektionen C. Vilkoret för att 3 n punkter på C 3 skola ligga på 
en kurva af n:te ordningen skall då ock, på grund af de ser- 
skilda kurvornas genom c motsvarigheter med de kordor i en 
gifven konisk sektion A, som tangera C, kunna uttryckas genom 
en lineär eqvation emellan elliptiska integraler. — Detta följer 
ock af ett allmänt theorem om skärningspunkterna emellan två 
geometriska kurvor, som af Clebsch är framstäldt i Crelles 
Journal Bd. 63 sid. 197 genom tillämpning på de geometriska 
kurvorna af ett theorem af Abel. 
§ III. Om en motsvarighet emellan punkter på en kurva af 
tredje ordningen och kurvor af tredje klassen. 
22. Vi antaga att C 3 är en kurva af tredje ordningen, att 
o är en fast punkt i kurvans plan utom dess kontur och att p 
är någon en punkt, liggande på C :i . Från p draga vi en rät 
linie till en punkt a pa 6 3 och kalla liniens återstående skär¬ 
ningspunkt med Q för b. Räta linien oa kalla vi för A och 
låta a — Iß = O vara dess eqvation; räta linien oh kalla vi för 
B och låta a — uß = 0 vara dess eqvation. Vi se nu att, när 
a rör sig utåt (? 3 , de motsvarande linierna A, B stå till hvar¬ 
andra i följande relation. Hvarje rät linie A träffar C z i tre 
punkter a, livilka bestämma tre räta linier pa och dermed tre 
punkter Z>, de öfriga skärningspunkterna emellan C 3 och linierna 
pa. Punkternas b sammanbindningslinier med o äro de linier 
B , som motsvara den gifna linien A. Hvarje rät linie A mot¬ 
svarar sålunda tre linier j5; och omvändt, hvarje rät linie B 
motsvarar tre linier A. Vidare se vi, att hvarje rät linie genom 
o, den må betraktas såsom en linie A eller en linie B , mot¬ 
svarar dock desamma tre räta linierna genom o såsom linier B 
eller linier A respektive. Af allt detta följer, att emellan de 
